几何概念

几何概念：要掌握几何概念既需有一定发展水平的空间想象力，又需有概括抽象的思考力。

1.日常用语含义对掌握几何概念的影响

几何学中有许多标志基本概念的词和日常概念的用语相同。当两者含义完全一致时，则日常概念有利于几何概念的掌握；在含义根本不同或不完全一致时，就会造成障碍。

在两者含义根本不同的情况下，学生很难理解几何概念。例如，对“点”、“线”、“面”等几何概念的掌握，必须摆脱具体实物，想象其所占有的空

间形式，并把其图形理解为抽象概括的“符号”。

在日常用语的意义与几何概念有部分相似，但又不一致或很不一致时，也容易产生“日常用语的意义限制几何概念的范围”的消极影响。例如“垂”这个词在生活中是指方向向下，而“垂线”的几何概念的基本质特征则是两条直线相交成直角，只有从上方一点向位于下方的水平线引垂线时，才与日常用语相合，其他情况下则不一致。所以对于“从直线外任意一点向该直线引垂线”这个课题，学生往往难于理解。这就是因为日常用语的含义限制了对几何概念的理解。当然在此种情况下，可以从一致之点入手，但必须紧接着揭示两者不同之处，而且揭示两者的不同是更重要的。

2.几何图形的感知与理解

几何图形的感知与理解对几何概念的形成关系极为密切。这表现在，既要利用感知因素促成对空间形式的概括，又要克服感知因素的消极影响，以达到对图形本质的理解，这是形成正确几何概念的关键之一。有的研究认为，适当采用变式图形可以使学生较正确掌握几何概念，且在扩充和应用它时比较顺利；而只局限于使用标准图形时，学生受感知因素的消极影响就大，对图形理解就呆板，在扩展和应用所形成的概念时也较困难，甚至不能形成正确的几何概念。教学中由于使用图形的方式不同，对掌握几何概念产生的影响如下：

（1）标准图形容易导致学生把图形的本质特征和所显示图形的个别特征联系起来。例如，在讲授等腰三角形时使用标准图形时如图2，虽然教师也指出：“一个三角形只要有两条边相等就叫等腰三角形。”但是事后叫学生判断图乙是什么三角形（已指出AB=AC），学生却认为它不是等腰三角形，问他AB不是等于AC吗？但是他说：“虽然AB=AC，但AB和AC不是在两旁呀。”显然他把“两边相等”这一本质特征和标准图形显示时相等两边“在两侧”这一个别特征联系起来，并当作本质特征。如果采用变式并和集合思想结合起来（如图3所示），就有助于学生分清其本质特征（有两条边相等）与非本质特征（位置、形状、大小），从而正确地掌握它。

（2）采用变式对概念的正确扩展及应用可产生有利的影响。几何概念的扩展，特点是沿着对称和整齐的方向、位置展开。例如直径概念的扩展是从1条到2条互相垂直的线，再从2条到4条且与前两条各成45角如此直至无数条。采用变式图形教的，形成的概念范围广，此种扩展就顺利，采用标准图形教的则较难。

应用几何概念时，学生必须按概念的本质特征找出图形。用变式图形教的，学生所形成的概念范围广，找到符合本质特征的图形容易。用标准图形教的则反之。例如，后一种情况下的学生，在叙述什么是直角三角形时，知

道其本质特征是“有一个角为直角”，可是在证明“从角的平分线上任意取一点，则这点跟角的两边距离相等”时（参看图3），虽然很容易在三角形BFK中找到直角，却不易发现三角形BFN中的直角。学生掌握的直角三角形概念只限于直角在下方的，这显然是受标准图形教学的影响。采取变式图形教的学生中，则很少发生此类现象。

（3）图形的感知往往要受其中强、弱成分的影响，这是知觉过程中的普遍规律。采取变式图形就可以克服它，而采用标准图形则不能。在图形中强、弱成分差别显著的情况下，标准图形更会造成学生按强成分辨认图形，而忽略其中弱成分的作用。如果遇到的弱成分正是更重要的本质特征时，则发生辨认困难或错误。例如用标准图形教过圆概念后，有的学生在口述圆的本质特征时，能指出“圆上各点与圆心等距”是圆的本质特征之一，但当辨别三个图形（圆、椭圆和不规则封闭曲线；中心线部分均划一中心点）的异同时，却只能说“都是封闭曲线，都有中心点”这一强成分，而不能指出“封闭曲线上的点是否与中心点等距”这一弱成分。采用变式图形教的学生，由于突出了“与中心等距”这一隐蔽的弱成分，在辨认上述三图异同时，就能克服强成分的影响，揭露出重要的弱成分的区别。

3.直接揭露概念本质特征及图形变式

直接揭露概念的本质特征，即是由教师直接向学生指出某概念的本质特征是什么，然后教学生在解决问题的过程中运用这些特征。有的研究表明，在初学几何基本概念时，采用直接揭露概念本质特征可提高学生用词叙述概念的精确性和掌握概念的巩固程度，且有利于精确分化“概念的图形”与“非概念的图形”以及对问题的正确解决。

可是直接揭露概念的本质特征，也不是在任何场合都起积极作用，过多运用这种方法会形成学生思维的刻板性。因为老是按教师分出的概念基本特征去寻找图形或解决问题，可能妨碍学生发展自己的分析和概括能力。

我国某些研究证明，采用“直接揭露概念本质特征”与“变式图形”相结合，或交替使用，在各方面均有利于几何概念的掌握，特别是比较复杂的几何概念或某些已经在几何概念或某些已经在几何中扩大化了的前科学概念，其效果均高于单独采用一种方法。因为结合使用或交替使用，可以有利于克服和减少各自的消极作用，并同时发挥两者特有的积极效果。另一方面还证明，兼用或交替使用两种方法，可以提高学生“用词叙述概念”、“对图形作判断”及“解决几何课题”三方面的一致性。